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和圆有关的比例线段

03-06 17:30:17 | www.jiaoxue51.com | 初三数学教案 | 人气:359

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教学建议

  1、教材分析

  (1)知识结构

  (2)重点、难点分析

  重点:相交弦定理及其推论,切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点,而且还是中考试题的热点;这些定理和推论是重要的工具性知识,主要应用与圆有关的计算和证明.

  难点:正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多,学生容易混淆.

  2、教学建议

  本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论,做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论,做例3.第3课时是习题课,讲例4并做有关的练3.

  (1)教师通过教学,组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题,逐步培养学生研究性学习意识,激发学生的学习热情;

  (2)在教学中,引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习,教师组织下,以学生为主体开展教学活动.

第1课时:相交弦定理

  教学目标:

  1.理解相交弦定理及其推论,并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算;

  2.学会作两条已知线段的比例中项;

  3.通过让学生自己发现问题,调动学生的思维积极性,培养学生发现问题的能力和探索精神;

  4.通过推论的推导,向学生渗透由一般到特殊的思想方法.

  教学重点:

  正确理解相交弦定理及其推论.

  教学难点:

  在定理的叙述和应用时,学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混,从而导致证明中发生错误,因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程,了解是哪两个三角形相似,从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.

  教学活动设计

  (一)设置学习情境

   1、图形变换:(利用电脑使AB与CD弦变动)

  ①引导学生观察图形,发现规律:∠A=∠D,∠C=∠B.

  ②进一步得出:△APC∽△DPB.

   .

   ③如果将图形做些变换,去掉AC和BD,图中线段 PA,PB,PC,PO之间的关系会发生变化吗?为什么?

  组织学生观察,并回答.

  2、证明:

  已知:弦AB和CD交于⊙O内一点P.

  求证:PA·PB=PC·PD.

  (A层学生要训练学生写出已知、求证、证明;B、C层学生在老师引导下完成)

  (证明略)

  (二)定理及推论

  1、相交弦定理: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.

  结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理:在⊙O中;弦AB,CD相交于点P,那么PA·PB=PC·PD.

  2、从一般到特殊,发现结论.

   对两条相交弦的位置进行适当的调整,使其中一条是直径,并且它们互 相垂直如图,AB是直径,并且AB⊥CD于P.

  提问:根据相交弦定理,能得到什么结论?

  指出:PC2=PA·PB.

  请学生用文字语言将这一结论叙述出来,如果叙述不完全、不准确.教师纠正,并板书.

  推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.

   3、深刻理解推论:由于圆是轴对称图形,上述结论又可叙述为:半圆上一点C向直径AB作垂线,垂足是P,则PC2=PA·PB. 

  若再连结AC,BC,则在图中又出现了射影定理的基本图形,于是有:

  PC2=PA·PB ;AC2=AP·AB;CB2=BP·AB

  (三)应用、反思

  例1 已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段,第二条弦的长为32厘米,求第二条弦被交点分成的两段的长.

   引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.

  例2  已知:线段a,b.

  求作:线段c,使c2=ab.

  分析:这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式,因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆,仿照推论即可作出要求作的线段.

  作法:口述作法.

  反思:这

www.jiaoxue51.com个作图是作两已知线段的比例中项的问题,可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.

  练习1 如图,AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP=1厘米,求CD.

  变式练习:若AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP,DP的长度皆为整数.那么CD的长度是 多少?

   将条件隐化,增加难度,提高学生学习兴趣

  练习2 如图,CD是⊙O的直径,AB⊥CD,垂足为P,AP=4厘米,PD=2厘米.求PO的长.

  练习3  如图:在⊙O中,P是弦AB上一点,OP⊥PC,PC 交⊙O于C.  求证:PC2=PA·PB 

  引导学生分析:由AP·PB,联想到相交弦定理,于是想到延长 CP交⊙O于D,于是有PC·PD=PA·PB.又根据条件OP⊥PC.易 证得PC=PD问题得证.

  (四)小结

  知识:相交弦定理及其推论;

  能力:作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力;

  思想方法:学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.

  (五)作业

  教材P132中 9,10;P134中B组4(1).
    


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