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角的度量

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教学建议

  一、知识结构

  二、重点、难点分析

  本节教学的重点是角度计算中的进位制问题、互余与互补的概念;难点是互余与互补概念的理解和应用.熟练掌握角的度量的相关知识可以为进一步研究相交线、平行线打下基础.

  1.度、分、秒的互换:如果一个角比1°还小,那么怎样度量它的大小?为了更精密地度量角.我们把1°的角60等份,每一份叫做1分的角,1分记作1;又把1的角60等份,每一份叫做1秒的角,1秒记作1.即1°=60,1=60.这表明角的度、分、秒是60进制的,这和计量时间的时、分、秒是一样的.例如:∠α的度数是32度48分51秒.记作∠α=32°4851.除法过程中,要注意度、分、秒是六十进制的,要把度的余数乘以60化为分,继续除得精确到分,把分的余数乘以60化为秒,继续除得精确到秒的近似值.

  2.若两个角的和是一个直角,这两个角叫做互为余角,若两个角的和是一个平角,这两个角叫做互为补角.理解这两个概念,要把握以下几点:(1)必须具备两个角;(2)两个角的和是一个定值:互余两角的和是 ,互补两角的和是 ;(3)与两个角的位置无关,只考虑两角间的数量关系.

  3.结合小学已经学过的概念,说明小于平角的角可以按照大小分成三类.分类的思想对于科学研究比较重要.要按照某种特征进行分类,例如按照大小、按照轻重,等等.分类要不重不漏.就是说,在把一群事物分类时,要使其中的每一事物都归入某一类,不能无类可归(不漏),并且只归入某一类,不能既归入这一类,又归入另一类或另几类(不重).这里只是初步渗透分类的思想,以后还要遇到分类,如三角形的分类.

  三、教法建议

  1.本节的教学内容中,对分类的数学思想加强了要求,由于分类的思想不是第一次出现,因此,可以简单进行小结,使得学生能够加深认识.使学生自己能对一些事物进行分类.

  2.在角的内容中,对角的进位制要加以重视,因为这是与十进制不同的进制,以后由于不同的需要还会遇到不同的进制,在这里讲清楚后,以后再遇到,就会感到自然了.同时对于60这个数的特点进行分析,使学生对角的一些运算能很灵活.

  3.角的单位中的大、小单位的互化比课本的要求要高,应该尽可能的掌握.

  4.本节在对学生活动的安排上,时间可多一些,教师也可以根据情况酌情安排.在安排学生自己出题时,应多加鼓励,尽量用学生自己出的题.目的是调动学生学习的积极性.

教学设计示例

  一、素质教育目标

  (一)知识教学点

  1.理解互为余角、互为补角的定义.

  2.掌握有关补角和余角的性质.

  3.应用以上知识点解决有关计算和简单推理问题.

  (二)能力训练点

  1.通过例3的讲解,培养学生用代数方法解几何问题的思路.

  2.通过有关余角、补角性质的推导,初步培养学生逻辑思维和推理能力.

  (三)德育渗透点

  通过互余、互补角性质的推导,说明事物之间具有普遍的联系性.

  (四)美育渗透点

  通过互余、互补的演示,使学全体会几何图形的动态美,通过性质的推导,使学生初步领略几何逻辑推理的严密美.

  二、学法引导

  1.教师教法:引导发现、尝试指导相结合.

  2.学生学法:学生积极参与,动手动脑,与主动发现相结合;

  三、重点·难点·疑点及解决办法

  (一)重点

  互为余角、互为补角的角的概念及有关余角、补角的性质.

  (二)难点

  有关余角和有关补角性质的推导.

  (三)疑点

  互余、互补的两个角图形的位置关系.

  (四)解决办法

  对重点、难点,应巧妙引导学生去发现,通过动手、动脑解决问题.

  对疑点,由学生思考并讨论,互相叙述“为什么”并相互纠正,同时,由教师进行逻辑点拨.

  四、课时安排

  1课时

  五、教具学具准备

  投影仪或电脑、三角板、自制胶片.

  六、师生互动活动设计

  1.通过教师演示,学生活动的方法创设情境,引出课题.

  2.通过学生讨论,归纳总结出互余、互补的定义,并通过两个练习对定义加以巩固.

  3.通过教师出示问题,学生思考并相互叙述,最后教师加以点拨的方法完成第一个性质的逻辑推理,其他性质由教师出示问题,学生模仿完成,最后学生做反馈练习.

  4.通过教师提问、学生回答完成图表的方法进行本节课的小结.

  七、教学步骤

  (一)明确目标

  正确理解互余、互补的定义并掌握其性质,并能运用进行简单的计算和推理.

  (二)整体感知

  通过教师演示和指导,学生动手动脑参与,顺利地使学生理解和掌握互余、互补的定义和性质,并通过对图形的识别和性质的理解,完成一些简单的计算和推理.

  (三)教学过程

  创设情境,引入课题

  师:上节课,我们学习了度量,认识了平角和直角,请同学们在练习本上画出一个平角和一个直角,并标明其度数.

  学生画图形的同时,投影显示以下图形,见图1及图2:

 

图1         图2

  教师演示:在以上两个图形的基础上,利用电脑(或投影),分别过两个角的顶点作活动射线

www.jiaoxue51.com,任意改变射线位置,让学生观察,如下图1及图2:

 

图1             图2

  学生活动:过自己所画两个角的顶点,任意作射线 ,同时观察老师演示.

  提出问题:射线 把平角 ,直角 分别分成了几个角?它们的度数关系如何?

  (学生容易答出:分成两个角, , .)

  教师演示:把射线 固定一个位置不动,然后把两个图形中的角保持大小不变,拉开,如图1及图2(或拉开更远些,多变换几种位置).

   

图1            图2

  提出问题: 与 的和还是 吗? 与 的和还是 吗?

  学生活动:观察教师演示过程中的图形变换,同桌可相互讨论,回答教师提出的问题.

  【教法说明】 与

www.jiaoxue51.com, 与 位置变换,前提是其大小不变.改变位置关系目的是:避免提出互补、互余角的概念后,学生误认为只有有公共顶点且和为 , 的两个角才是互补、互余的角.

  根据学生回答,教师肯定结论:

  不论 、 、 、 的位置关系如何变化,只要大小不变, 与 的和永远是平角, 与 的和永远是直角.像这样具有特殊关系的角,我们分别叫它们互为补角和互为余角.这就是我们要学习的角的度量一节中又一新知识.(板书课题)

  [板书]1.6  角的度量

  【教法说明】  注重学生的参与意识,要让学生手脑并动,通过不断演示,学生观察,教师逐步提出问题,让学生养成自己发现问题,并没法解决问题的良好习惯.

  探究新知

  1.互为余角、互为补角的定义

  提出问题:你能根据前面老师的演示和说明,叙述一下具有什么关系的两个角叫互为余角和互为补角吗?

  学生活动:同桌相互讨论,互相纠正和补充,找学生口述.

  【教法说明】通过学生亲自动手画图,观察老师的演示,对互余、互补角概念的理解,可以说已经水到渠成.教师不必包办代替,要让学生自己总结归纳,以训练其归纳总结及口头表达能力.

  教师根据学生回答,给予肯定后给出答案:

  [板书]

  互为余角:如果两个角的和是一个直角,那么这两个角叫互为余角.其中一个角叫做另一个角的余角.

  直为补角:如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角.

  2.提出问题,理解定义.(投影显示)

  (1)以上定义中的“互为”是什么意思?

  (2)若 ,那么 互为补角吗?

  (3)互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点?

  学生讨论以上三个问题.

  【教法说明】对定义的理解,提出的三个问题很关键,让学生讨论发表自己的见解,比教师单纯强调“注意”效果要好得多,同时也培养学生全面分析、考虑问题的能力.

  通过学生回答,教师对以上三个问题给予肯定或否定.

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  反馈练习:投影显示

  1.若 与 互补,则 ,若 与 互余,

  2. 角的余角为 ,补角为 , 的余角为 .补角为 .

  3.如图1: 是直线 上一点, 是 的平分线,


图1

① 的补角是____________

  ② 的余角是____________

  ③

www.jiaoxue51.com的补角是____________

  【教法说明】第l、2两题可由学生抢答,这两题是为以下例3做铺垫的.第1题实质上也是把定义的文字语言转化成几何语言,强调反之也成立.通过第3题要培养学生的识图能力.

  2.有关互余、互补角的性质

  师:通过以上练习,我们对互余、互补角的概念有了较深刻的理解,下面我们提出一个新问题,看你们能否解决.

  投影出示:

   例4  与 互补, 与 互补,若 ,那么 和 相等吗?为什么?

  

  【教法说明】学生思考并讨论,同桌互相叙述“为什么”讲相互纠正.有时学生间的交流比师生对话效果会更好.

  找学生试述“为什么”,估计逻辑性不会太强,教师可加以点拨:解决几何问题往往要从已知入手,联想出结论:如由 与 互补你想到什么结论?( ) 与 互补呢?( ).因为要比较的是 与 的大小,以上两式可表示为: ,

www.jiaoxue51.com.已知中 ,则 一定等于 .

  教师边引导学生叙述边板书出较规范的格式:

  [板书]

  ∵ 与 互补,∴ 即 .

  ∵ 与 互补,∴ 即 .

  ∵ ,∴ .

  【教法说明】此问题中的“为什么”实际上是几何中的推理问题,要有严密的逻辑性.学生第一次接触,因此,“放”可以,而且必须“收”.教师引导由已知产生联想,一环紧扣一环,写出推理过程,渗透“∵  ∴”的书写格式.

  提出问题:通过以上题目,你是否发现了两个等角的补角间有怎样的关系?你能试着总结吗?

  【教法说明】由学生发现性质,并归纳总结,培养学生由具体题日抽象出几何命题的能力和语言表达能力.学会由具体到抽象考虑问题的方法.

  学生活动:同桌讨论,并互相叙述总结规律.

  教师对学生回答进行纠正、整理后板书,并给出符号语言,强调此性质的应用.

  [板书]同角或等角的补角相等.∵ , ,∴ .

  提出问题: 与

www.jiaoxue51.com互余, 与 互余,若 ,那么 等于 吗?为什么?你由此问题又能得出什么结论?

  学生活动:教师不给任何提示的情况下,在练习本上仿照例4的格式,写出“为什么”及得出的结论.

  教师找同学回答后板书.

  [板书]同角或等角的余角相等.∵ , ,∴ .

  师:有关余角和补角的性质很有用,以后遇到有同角(或等角)的补角就可以根据这个性质,知道它们都相等.

  反馈练习:投影显示


图1

  1.见图1,若 与 互余, 与 互余,

   则______=______根据是:________


图2

  2.见图2,若 与 互补, 与 互补,

   则______=_______根据是:_________

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图3

  3.如图3, 是直线 上的一点, 平分 , ,则

  

   

  【教法说明】第1、2两题主要强调互余、互补角性质的应用,设计成活动胶片(或电脑课件)把图中的角多变换几个位置.第2题中当拼成两相交线时为下一步学习对顶角相等做准备.第3题可以找 、 的余角有几个,把题再拓宽些.

  (四)总结、扩展

  以提问的形式列出下表

 

互余的角

互补的角

数量关系

对应图形

性质

同角或等角的余角相等

同角或等角的补角相等

  思考题(投影出示)

  1.锐角的余角一定是锐角吗?

  2.一个锐角和一个钝角一定互为补角吗?

  3.一个角的补角比这个角的余角大多少度?

  4.相等且互补的两个角各是多少度?

  5.一个角的补角一定比这个角大吗?

  【教法说明】小结后由学生看书,让学生提出问题,学生提出以上问题,则发动同学们讨论,没提出以上问题教师再提出,由学生讨论.

  八、布置作业

  课本第38页练习第1、2题.

  作业答案

  1.较大角是 ,比萨斜塔倾斜了 .

  2.

www.jiaoxue51.com的补角是 ,余角是 .

  九、板书设计

  1.6  角的度量

1.定义

如果两个角的和是一个平角,那么这两个角互为补角.

如果两个角的和是一个直角,那么这两个角互为余角.

2.性质

同角或等角的补角相等.

同角或等角的余角相等.

例3  解:_______________

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 _________________________

 ________________

 (练习板演)______________

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练习

 解:_______________

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