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不等式的解集

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教学建议

  一、知识结构

  二、重点、难点分析

  本节教学的重点是不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法.难点为不等式的解集的概念.

  1.不等式的解与方程的解的意义的异同点

  相同点:定义方式相同(使方程成立的未知数的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.

  不同点:解的个数不同,一般地,一个不等式有无数多个解,而一个方程只有一个或几个解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一个解,类似地 等也能使不等式 成立,它们都是不等式 的解,事实上,当 取大于 的数时,不等式 都成立,所以不等式 有无数多个解.

  2.不等式的解与解集的区别与联系

  不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念,不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值,而不等式的解集,是指满足这个不等式的未知数的所有的值,不等式的所有解组成了解集,解集中包括了每一个解.

  注意:不等式的解集必须满足两个条件:第一,解集中的任何一个数值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一个数值,都不能使不等式成立.

  3.不等式解集的表示方法

  (1)用不等式表示

  一般地,一个含未知数的不等式有无数多个解,其解集是某个范围,这个范围可用一个最简单的不等式表示出来,例如,不等式 的解集是 .

  (2)用数轴表示

  如不等式 的解集 ,可以用数轴上表示4的点的左边部分表示,因为

www.jiaoxue51.com包含 ,所以在表示4的点上画实心圆.

  如不等式 的解集 ,可以用数轴上表示4的点的左边部分表示,因为 包含 ,所以在表示4的点上画实心圈.

  注意:在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大,所以在数轴上表示不等式的解集时应牢记:大于向右画,小于向左画;有等号的画实心圆点,无等号的画空心圆圈.

 一、素质教育目标

  (一)知识教学点

  1.使学生了解不等式的解集、解不等式的概念,会在数轴上表示出不等式的解集.

  2.知道不等式的“解集”与方程“解”的不同点.

  (二)能力训练点

  通过教学,使学生能够正确地在数轴上表示出不等式的解集,并且能把数轴上的某部分数集用相应的不等式表示.

  (三)德育渗透点

  通过讲解不等式的“解集”与方程“解”的关系,向学生渗透对立统一的辩证观点.

  (四)美育渗透点

  通过本节课的学习,让学生了解不等式的解集可利用图形来表达,渗透数形结合的数学美.

  二、学法引导

  1.教学方法:类比法、引导发现法、实践法.

  2.学生学法:明确不等式的解与解集的区别和联系,并能熟练地用数轴表示不等式的解集,在数轴上表示不等式的解集时,要特别注意:大于向右画,小于向左画;有等号的画实心圆点,无等号的画空心圆圈.

  三、重点·难点·疑点及解决办法

  (一)重点

  1.不等式解集的概念.

  2.利用数轴表示不等式的解集.

  (二)难点

  正确理解不等式解集的概念.

  (三)疑点

  弄不清不等式的解集与方程的解的区别、联系.

  (四)解决办法

  弄清楚不等式的解与解集的概念.

  四、课时安排

  一课时.

  五、教具学具准备

  投影仪或电脑、自制胶片、直尺.

  六、师生互动活动设计

  (一)明确目标

  本节课重点学习不等式的解集,解不等式的概念并会用数轴表示不等式的解集.

  (二)整体感知

  通过枚举法来形象直观地推出不等式的解集,再给出不等式解集的概念,从而更准确地让学生掌握该概念.再通过师生的互动学习用数轴表示不等式的解集,从而为今后求不等式组的解集打下良好的基础.

  (三)教学过程

 1.创设情境,复习引入

  (1)根据不等式的基本性质,把下列不等式化成 或 的形式.

  ①   ②

  (2)当 取下列数值时,不等式 是否成立?

  l,0,2,-2.5,-4,3.5,4,4.5,3.

  学生活动:独立思考并说出答案:(1)① ②

www.jiaoxue51.com.(2)当 取1,0,2,-2.5,-4时,不等式 成立;当 取3.5,4,4.5,3时,不等式 不成立.

  大家知道,当 取1,2,0,-2.5,-4时,不等式 成立.同方程类似,我们就说1,2,0,-2.5,-4是不等式的解,而3.5,4,4.5,3这些使不等式 不成立的数就不是不等式 的解.

  对于不等式 ,除了上述解外,还有没有解?解的个数是多少?将它们在数轴上表示出来,观察它们的分布有什么规律?

  学生活动:思考讨论,尝试得出答案,指名板演如下:

  【教法说明】启发学生用试验方法,结合数轴直观研究,把已说出的不等式 的解2,0,1,-2.5,-4用“实心圆点”表示,把不是 的解的数值3.5,4,4.5,3用“空心圆圈”表示,好像是“挖去了”.

  师生归纳:观察数轴可知,用“实心圆点”表示的数都落在3的左侧,3和3右侧的数都用空心圆圈表示,从而我们推断,小于3的每一个数都是不等式 的解,而大于或等于3的任何一个数都不是 的解.可以看出,不等式 有无限多个解,这无限多个解既包括小于3的正整数、正小数、又包括0、负整数、负小数;把不等式 的无限多个解集中起来,就得到 的解的集会,简称不等式

www.jiaoxue51.com的解集.

  2.探索新知,讲授新课

  (1)不等式的解集

  一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.

  ①以方程 为例,说出一元一次方程的解的情况.

  ②不等式 的解的个数是多少?能一一说出吗?

  (2)解不等式

  求不等式的解集的过程,叫做解不等式.

  解方程 求出的是方程的解,而解不等式 求出的则是不等式的解集,为什么?

  学生活动:观察思考,指名回答.

  教师归纳:正是因为一元一次方程只有惟一解,所以可以直接求出.例如 的解就是 ,而不等式 的解有无限多个,无法一一列举出来,因而只能用不等式 或 揭示这些解的共同属性,也就是求出不等式的解集.实际上,求某个不等式的解集就是运用不等式的基本性质,把原不等式变形为 或 的形式, 或 就是原不式的解集,例如 的解集是 ,同理, 的解集是 .

  【教法说明】学生对一元一次方程的解印象较深,而不等式与方程的相同点较多,因而易将“不等式的解集”与“方程的解”混为一谈,这里设置上述问题,目的是使学生弄清“不等式的解集”与“方程的解”的关系.

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  (3)在数轴上表示不等式的解集

  ①表示不等式 的解集:( )

  分析:因为未知数的取值小于3,而数轴上小于3的数都在3的左边,所以就用数轴上表示3的点的左边部分来表示解集 .注意未知数 的取值不能为3,所以在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈,表示不包括3这一点,表示如下:

  ②表示 的解集:( )

  学生活动:独立思考,指名板演并说出分析过程.

  分析:因为未知数的取值可以为-2或大于-2的数,而数轴上大于-2的数都在-2右边,所以就用数钢上表示-2的点和它的右边部分来表示.如下图所示:

  注意问题:在数轴上表示-2的点的位置上,应画实心圆心,表示包括这一点.

  【教法说明】利用数轴表示不等式解的解集,增强了解集的直观性,使学生形象地看到不等式的解有无限多个,这是数形结合的具体体现.教学时,要特别讲清“实心圆点”与“空心圆圈”的不同用法,还要反复提醒学生弄清到底是“左边部分”还是“右边部分”,这也是学好本节内容的关键.

  3.尝试反馈,巩固知识

  (1)不等式的解集 与 有什么不同?在数轴上表示它们时怎样区别?分别在数轴上把这两个解集表示出来.

  (2)在数轴上表示下列不等式的解集.

  ①  ②  ③  ④

  (3)指出不等式 的解集,并在数轴上表示出来.

  师生活动:首先学生在练习本上完成,然后教师抽查,最后与出示投影的正确答案进行对比.

  【教法说明】教学时,应强调2.(4)题的正确表示为:

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  我们已经能够在数轴上准确地表示出不等式的解集,反之若给出数轴上的某部分数集,还要会写出与之对应的不等式的解集来.

  4.变式训练,培养能力

  (1)用不等式表示图中所示的解集.

  【教法说明】强调“· ”“ °”在使用、表示上的区别.

  (2)单项选择:

  ①不等式 的解集是( )

  A.   B.   C.   D.

  ②不等式 的正整数解为( )

  A.1,2  B.1,2,3  C.1  D.2

  ③用不等式表示图中的解集,正确的是( )

  A.   B.   C.   D.

  ④用数轴表示不等式的解集 正确的是( )

  

  学生活动:分析思考,说出答案.(教师给予纠正或肯定)

  【教法说明】此题以抢答形式茁现,更能激发学生探索知识的热情.

  (四)总结、扩展

  学生小结,教师完善:

  1.  本节重点:

  (1)了解不等式的解集的概念.

  (2)会在数轴上表示不等式的解集.

  2.注意事项:

  弄清“ · ”还是“ °”,是“左边部分”还是“右边部分”.

  七、布置作业

  必做题:P65  A组 3.(1)(2)(3)(4)

  八、板书设计

6.2  不等式的解集

  一、1.不等式的解集:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解的集合,简称不等式的解集.

  2.解不等式:求不等式解的过程

  二、在数轴上表示不等式的解集

  1.    2.

  三、注意:(1)“ · ”与“ °”;(2)“左边部分”与“右边部分”.


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