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完全平方公式

03-06 17:18:01 | www.jiaoxue51.com | 初一数学教案 | 人气:999

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教学建议

  一、知识结构

  二、重点、难点分析

  本节教学的重点是完全平方公式的熟记及应用.难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解).完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。

  1.两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.即:

  

  这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的.

  这两个公式的结构特征是:左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二中两项的平方和,加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的2倍;公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等代数式.

  2.只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式.

  在运用公式时,有时需要进行适当的变形,例如 可先变形为 或 或者 ,再进行计算.

  在运用公式时,防止发生 这样错误.

  3.运用完全平方公式计算时,要注意:

  (1)切勿把此公式与公式 混淆,而随意写成 .

  (2)切勿把“乘积项” 中的2丢掉.

  (3)计算时,要先观察题目特点是否符合公式的条件,若不符合,应先变形为符合公式的条件的形式,再利用公式进行计算,若不能变为符合公式条件的形式,则应运用乘法法则进行计算.

  4. 与 都叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式.

  三、教法建议

  1.在公式的运用上,与平方差公式的运用一样,应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义,教科书把公式中的字母同具体题目中的数或式子,用“ ”连结起来,逐项比较、对照,步骤写得完整,便于学生理解如何正确地使用完全平方公式进行计算.

  2.正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件.重要的是确定两数,然后再看是否两数的和(或差),最后按照公式写出两数和(或差)的平方的结果.

  3.如何使学生记牢公式呢?我们注意了以下两点.

  (1)既讲“法”,又讲“理”

  在教学中要讲法则、公式的应用,也要讲公式的推导,使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆.我们引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明,也是对说理的重视.在“明白道理”这个前提下的记忆,即使学生将来发生错误也易于纠正.

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  (2)讲联系、讲对比、讲特点

  对于类似的内容学生容易混淆,比如在本节出现的(a+b)2=a2+b2的错误,其原因是把完全平方公式和“旧”知识(ab)2=a2b2及分配律弄混,排除新旧知识间相互干扰的一种作法是向学生指明新知识的特点.所以讲“理”是要讲联系、讲对比、讲特点.

教学设计示例

  一、教学目标

  1.理解完全平方公式的意义,准确掌握两个公式的结构特征.

  2.熟练运用公式进行计算.

  3.通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力.

  4.培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想.

  5.渗透数学公式的结构美、和谐美.

  二、学法引导

  1.教学方法:尝试指导法、讲练结合法.

  2.学生学法:本节学习了乘法公式中的完全平方,一个是两数和的平方,另一个是两数差的平方,两者仅一个“符号”不同.相乘的结果是两数的平方和,加上(或减去)两数的积的2倍,两者也仅差一个“符号”不同,运用完全平方公式计算时,要注意:

  (1)切勿把此公式与公式 混淆,而随意写成 .

  (2)切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉.

  (3)计算时,要先观察题目是否符合公式的条件.若不符合,应先变形为符合公式的条件的形式,再利用公式进行计算;若不能变为符合条件的形式,则应运用乘法法则进行计算.

    三、重点·难点及解决办法

  (一)重点

  掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义,正确运用公式进行计算.

  (二)难点

  综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算.

  (三)解决办法

  加强对公式结构特征的深入理解,在反复练习中掌握公式的应用.

  四、课时安排

  一课时.

  五、教具学具准备

  投影仪或电脑、自制胶片.

  六、师生互动活动设计

  1.让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题,目的是辨认题目的结构特征.

  2.引入完全平方公式,让学生用文字概括公式的内容,培养抽象的数字思维能力.

  3.举例分析如何正确使用完全平方公式,师生共练完成本课时重点内容.

  4.适时练习并总结,从实践到理论再回到实践,以指导今后的解题.

  七、教学步骤

  (一)明确目标

  本节课重点学习完全平方公式及其应用.

  (二)整体感知

  掌握好完全平方公式的关键在于能正确识别符合公式特征的结构,同时还要注意公式中2ab中2的问题,在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律.

  (三)教学过程

  1.计算导入;求得公式

  (1)叙述平方差公式的内容并用字母表示;

  (2)用简便方法计算

   ①103×97

   ②103 × 103

  (3)请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题,并算出结果.

  学生活动:编题、解题,然后两至三个学生说出题目和结果.

  要想用好公式,关键在于辨认题目的结构特征,正确使用公式,这节课我们继续学习“乘

  法公式”.

  引例:计算 ,

  学生活动:计算 , ,两名学生板演,其他学生在练习本上完成,然后说出答案,得出公式.

  

  

  或合并为:

  教师引导学生用文字概括公式.

  方法:由学生概括,教师给予肯定、否定或更正,同时板书.

  两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.

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  【教法说明】

  ①复习平方差公式,主要是引起回忆,巩固公式;编题在于提高兴趣.

  ②有了平方差公式的推导过程,学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的认识方法,因此推导完全平方公式可以由计算直接得出.

  2.结合图形,理解公式

   

  根据图形完成下列问题:

  如图:A、B两图均为正方形,

  (1)图A中正方形的面积为____________,(用代数式表示)

  图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。

  (2)图B中,正方形的面积为____________________,

  Ⅲ的面积为______________,

  Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为____________,

  用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。

  分别得出结论:

  

  学生活动:在教师引导下回答问题.

  【教法说明】利用图形讲解,增强学生对公式的直观理解,以便更好地掌握公式,同时也培养学生数形结合的数学思想。

  3.探索新知,讲授新课

  (1)引例:计算

  教师讲解:在 中,把x看成a,把2y看成b,在 中把2x看成a,把3y看成b,则 、 ,就可用完全平方公式来计算,即

  

         

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  【教法说明】  引例的目的在于使学生进一步理解公式的结构,为运用公式打好基础.

  (2)例1  运用完全平方公式计算:

  ①   ②   ③

  学生活动:学生独立在练习本上尝试解题,3个学生板演.

  【教法说明】  让学生先模仿公式解题,学生可能会出现一些问题,这也正是学生对公式理解、应用和熟练程度上存在的需要解决的问题,反馈后要紧扣公式,重点讲解,达到解决问题的目的,关于例呈中(3)的计算,可对照公式直接计算,也可变形成 ,然后再进行计算,同时也可训练学生灵活运用学过的知识的能力.

  4.尝试反馈,巩固知识

  练习一

  运用完全平方公式计算:

  (1)   (2)   (3)

  (4)   (5)   (6)

  (7)   (8)   (9)

  (l0)

  学生活动:学生在练习本上完成,然后同学互评,教师抽看结果,练习中存在的共性问题要集中解决.

  5.变式训练,培养能力

  练习二

  运用完全平方公式计算:

  (l)

www.jiaoxue51.com (2)  (3)  (4)

  学生活动:学生分组讨论,选代表解答.

  练习三

  (1)有甲、乙、丙、丁四名同学,共同计算,以下是他们的计算过程,请判断他们的计算是否正确,不正确的请指出错在哪里.

  甲的计算过程是:原式

    

  乙的计算过程是:原式

    

  丙的计算过程是:原式

    

  丁的计算过程是:原式

    

    

  (2)想一想, 与 相等吗?为什么?

   与 相等吗?为什么?

  学生活动:观察、思考后,回答问题.

  【教法说明】  练习二是一组数字计算题,使学生体会到公式的用途,也可以激发学生学习兴趣,调动学生的学习积极性,同时也起到加深理解公式的作用.练习三第(l)题实际是课本例4,此题是与平方差公式的综合运用,难度较大.通过给出解题步骤,让学生进行判断,使难度降低,学生易于理解,教师要注意引导学生分析这类题的结构特征,掌握解题方法.通过完成第(2)题使学生进一步理解 与

www.jiaoxue51.com之间的相等关系,同时加深理解代数中“a”具有的广泛意义.

  练习四

  运用乘法公式计算:

  (l)   (2)

  (3)  (4)

  学生活动:采取比赛的方式把学生分成四组,每组完成一题,看哪一组完成得快而且准确,每组各派一个学生板演本组题目.

  【教法说明】  这样做的目的是训练学生的快速反应能力及综合运用知识的能力,同时也激发学生的学习兴趣,活跃课堂气氛.

  (四)总结、扩展

  这节课我们学习了乘法公式中的完全平方公式.

  引导学生举例说明公式的结构特征,公式中字母含义和运用公式时应该注意的问题.

  八、布置作业

  P133  1,2.(3)(4).

  参考答案

  略.


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