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平行线的判定

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教学建议

  1、教材分析

  (1)知识结构:

  由平行线的画法,引出平行线的判定公理(同位角相等,两直线平行).由公理推出:内错角相等,两直线平行.同旁内角互补,两条直线平行,这两个定理.

  (2)重点、难点分析 :

  本节的重点是:平行线的判定公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样,有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此,这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据,也为下一节,学习平行线的性质打下了基础.

  本节内容的难点是:理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质,对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质,没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此,教学中既要有直观的演示和操作,也要有严格推理证明的板书示范.创设情境,不断渗透,使学生初步理解证明的步骤和基本方法,能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.

  2、教学建议

  在平行线判定公理的教学中,应充分体现一条主线索:“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”

  教师可演示教材中所示的教具,还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中,注意角的变化情况.事实充分,学生可以理解,如果同位角相等,那么两直线一定会平行.

  平行线的判定公理后,有些同学可能会意识到“内错角相等,两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.


教学设计示例1

  一、教学目标

  1.了解推理、证明的格式,掌握平行线判定公理和第一个判定定理.

  2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.

  3.通过模型演示,即“运动—变化”的数学思想方法的运用,培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.

  二、学法引导

  1.教师教法:启发式引导发现法.

  2.学生学法:独立思考,主动发现.

  三、重点·难点及解决办法

  (一)重点

  在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.

  (二)难点

  判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.

  (三)解决办法

  1.通过观察实验,巧妙设问,解决重点.

  2.通过引导正确思维,严格展示推理书写格式,明确方法来解决难点、疑点.

  四、课时安排

  l课时

  五、教具学具准备

  三角板、投影胶片、投影仪、计算机.

  六、师生互动活动设计

  1.通过两组题,复习旧知,引入新知.

  2.通过实验观察,引导思维,概括出公理及定理的推导,并以练习进行巩固.

  3.通过教师提问,学生回答完成归纳小结.

  七、教学步骤

  (-)明确目标

教学建议

  1、教材分析

  (1)知识结构:

  由平行线的画法,引出平行线的判定公理(同位角相等,两直线平行).由公理推出:内错角相等,两直线平行.同旁内角互补,两条直线平行,这两个定理.

  (2)重点、难点分析 :

  本节的重点是:平行线的判定公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样,有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此,这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据,也为下一节,学习平行线的性质打下了基础.

  本节内容的难点是:理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质,对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质,没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此,教学中既要有直观的演示和操作,也要有严格推理证明的板书示范.创设情境,不断渗透,使学生初步理解证明的步骤和基本方法,能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.

  2、教学建议

  在平行线判定公理的教学中,应充分体现一条主线索:“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”

  教师可演示教材中所示的教具,还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中,注意角的变化情况.事实充分,学生可以理解,如果同位角相等,那么两直线一定会平行.

  平行线的判定公理后,有些同学可能会意识到“内错角相等,两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.


教学设计示例1

  一、教学目标

  1.了解推理、证明的格式,掌握平行线判定公理和第一个判定定理.

  2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.

  3.通过模型演示,即“运动—变化”的数学思想方法的运用,培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.

  二、学法引导

  1.教师教法:启发式引导发现法.

  2.学生学法:独立思考,主动发现.

  三、重点·难点及解决办法

  (一)重点

  在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.

  (二)难点

  判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.

  (三)解决办法

  1.通过观察实验,巧妙设问,解决重点.

  2.通过引导正确思维,严格展示推理书写格式,明确方法来解决难点、疑点.

  四、课时安排

  l课时

  五、教具学具准备

  三角板、投影胶片、投影仪、计算机.

  六、师生互动活动设计

  1.通过两组题,复习旧知,引入新知.

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  2.通过实验观察,引导思维,概括出公理及定理的推导,并以练习进行巩固.

  3.通过教师提问,学生回答完成归纳小结.

  七、教学步骤

  (-)明确目标

 掌握平行线判定公理和第一个判定定理及运用其进行简单的推理论证.

  (二)整体感知

  以情境设计,引出课题,以模型演示,引导学生观察,、分析、总结,讲授新知,以变式训练巩固新知,在整节课中,较充分地体现了逻辑推理.

  (三)教学过程

  创设情境,引出课题

  师:上节课我们学习了平行线、平行公理及推论,请同学们判断下列语句是否正确,并说明理由(出示投影).

  1.两条直线不相交,就叫平行线.

  2.与一条直线平行的直线只有一条.

  3.如果直线 、 都和 平行,那么 、 就平行.

  学生活动:学生口答上述三个问题.

  【教法说明】通过三个判断题,使学生回顾上节所学知识,第1题在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”,第2题不仅回顾平行公理,同时使学生认识学习几何,语言一定要准确、规范,同一问题在不同条件下,就有不同的结论,第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生,它也是判定两条直线平行的方法.

  师:测得两条直线相交,所成角中的一个是直角,能判定这两条直线垂直吗?根据什么?

  学生:能判定垂直,根据垂直的定义.

  师:在同一平面内不相交的两条直线是平行线,你有办法测定两条直线是平行线吗?

  学生活动:学生思考,如何测定两条直线是否平行?

  教师在学生思考未得结论的情况下,指出不能直接利用手行线的定义来测定两条直线是否平行,必须找其他可以测定的方法,有什么方法呢?

  学生活动:学生思考,在前面复习平行公理推论的情况下,有的学生会提出,再作一条直线 ,让 ,再看 是否平行于 就可以了.

  师:这种想法很好,那么,如何作 ,使它与 平行?若作出 后,又如何判断 是否与 平行?

  

www.jiaoxue51.com学生活动:学生思考老师的提问,意识到刚才的回答,似是而非,不能解决问题.

  师:显然,我们的问题没有得到解决,为此我们来寻找另外一些判定方法,就是今天我们要学习的平行线的判定(板书课题).

  [板书]2.5平行线的判定(1).

  【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直,学生自然想到要用平行线定义来判断,但我们无法测定直线是否不相交,也就不能利用定义来判断.这时,学生会考虑平行公理推论,此时教师只须简单地追问,就让学生弄清问题未能解决,由此引入新课内容.

  探究新知,讲授新课

   教师给出像课本第78页图2–20那样的两条直线被第三条直线所截的模型,转动 ,让学生观察, 转动到不同位置时, 的大小有无变化,再让 从小变大,说出直线 与 的位置关系变化规律.

  【教法说明】让学生充分观察,在教师的启发式提问下,分析、思考、总结出结论.


图1

  学生活动: 转动到不同位置时, 也随着变化,当 从小变大时,直线 从原来在右边与直线 相交,变到在左边与 相交.

  师:在这个过程中,存在一个与 不相交即与 平行的位置,那么 多大时,直线

www.jiaoxue51.com呢?也就是说,我们若判定两条直线平行,需要找角的关系.

  师:下面先请同学们回忆平行线的画法,过直线 外一点 画 的平行线 .

  学生活动:学生在练习本上完成,教师在黑板上演示(见图1).

  师:由刚才的演示,请同学们考虑,画平行线的过程,实际上是保证了什么?


图2

  学生:保证了两个同位角相等.

  师:由此你能得到什么猜想?

  学生:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行.

  师:我们的猜想正确吗?会不会有某一特定的时刻,即使同位角不等,而两条直线也平行呢?

  教师用计算机演示运动变化过程.在观察实验之前,让学生看清 角和 角(如图2),而后开始实验,让学生充分观察并讨论能得出什么结论.

  学生活动:学生观察、讨论、分析.

  总结了,当 时, 不平行 ,而无论 取何值,只要 , 、 就平行.

  图3

  教师引导学生自己表达出结论,并告诉学生这个结论称为平行线的判定公理.

  [板书]两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.

  简单说成:同位角相等,两直线平行.

  即:∵ (已知见图3),

  ∴ 

www.jiaoxue51.com(同位角相等,两直线平行).

  【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动—变化过程,让学生确信公理的正确.尝试反馈,巩固练习(出示投影).

  图4

  1.如图4, , , 吗?

  2. ,当 时,就能使 .

  【教法说明】这两个题目旨在巩固所学的判定公理,对于第2题是已知结论,找出使它成立的题设,这是证明问题时应掌握的一种思考方法,要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思考方法,教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想.

   (出示投影)

  直线 、 被直线 所截.


图5

  1.见图5,如果 ,那么 与 有什么关系?

  2. 与 有什么关系?

  3. 与 是什么位置关系的一对角?

  学生活动:学生观察,思考分析,给出答案:

www.jiaoxue51.com时, , 与 相等, 与 是内错角.

  师: 与 满足什么条件,可以得到 ?为什么?

  学生活动: ,因为 ,通过等量代换可以得到 .

  师: 时,你进而可以得到什么结论?

  学生活动: .

  师:由此你能总结出什么正确结论?

  学生活动:内错角相等,两直线平行.

  师:也就是说,我们得到了判定两直线平行的另一个方法:

  [板书]两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.

  简单说成:内错角相等,两直线平行.

  【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法,引导学生自己去发现角之间的关系,进而归纳总结出结论,主要采用探讨问题的方式,能够培养学生积极思考、善于动脑分析的良好学习习惯.

  师:上面的推理过程,可以写成

  ∵ (已知),

     (对顶角相等),

  ∴ .

  [∵ (已证)],

  ∴

www.jiaoxue51.com(同位角相等,两直线平行).

  【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说,这样才能使学生大胆尝试,培养他们勇于进取的精神.

  教师指出:方括号内的“∵ ”,就是上面刚刚得到的“∴ ”,在这种情况下,方括号内这一步可以省略.

  尝试反馈,巩固练习(出示投影)

  1.如图1,直线 、 被直线 所截.

  (1)量得 , ,就可以判定 ,它的根据是什么?

  (2)量得 , ,就可以判定 ,它的根据是什么?

  2.如图2, 是 的延长线,量得 .

  (1)从 ,可以判定哪两条直线平行?它的根据是什么?

  (2)从 ,可以判定哪两条直线平行?它的根据是什么?



图1            图2

  学生活动:学生口答.

  【教法说明】这组题旨在巩固平行线的判定公理和判定方法的掌握,使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题.

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  变式训练,培养能力

  (出示投影)

  1.如图3所示,由 ,可判断哪两条直线平行?由 ,可判断哪两条直线平行?

  2.如图4,已知 , , 吗?为什么?

 

图3         图4

  学生活动:学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出答案.

  【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形,加强识图能力,同时培养学生的发散思维,也就是培养学生从多角度、全方位考虑问题,从而得到一题多解.提高了学生的解题能力.

  (四)总结扩展

 

  2.结合判一定理的证明过程,熟悉表达推理证明的要求,初步了解推理证明的格式.

  八、布置作业

  课本第97页习题2.2A组第4、5、6(1)(2)题.

  作业答案

  4.当 时,就能使 .

  5.(1)从 ,推出 ,根据同位角相等,两直线平行.

  (2)从 ,推出 ,根据内错角相等,两直线平行.

  6.(1)可断定 ,根据同位角相等,两直线平行.

  (2)可断定 ,根据内错角相等,两直线平行.


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