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不等式的证明(三)

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第四课时

教学目标

  1.掌握分析法证明不等式;

  2.理解分析法实质——执果索因;

  3.提高证明不等式证法灵活性.

教学重点  分析法

教学难点  分析法实质的理解

教学方法  启发引导式

教学活动

  (一)导入新课

  (教师活动)教师提出问题,待学生回答和思考后点评.

  (学生活动)回答和思考教师提出的问题.

  [问题1]我们已经学习了哪几种不等式的证明方法?什么是比较法?什么是综合法?

  [问题 2]能否用比较法或综合法证明不等式:

  [点评]在证明不等式时,若用比较法或综合法难以下手时,可采用另一种证明方法:分析法.(板书课题)

  设计意图:复习已学证明不等式的方法.指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处,

激发学生学习新的证明不等式知识的积极性,导入本节课学习内容:用分析法证明不等式.

  (二)新课讲授

  【尝试探索、建立新知】

  (教师活动)教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系,然后提出问题供学生研究,并点评.帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系.投影分析法证明不等式的概念.

  (学生活动)与教师一道分析综合法的逻辑关系,在教师启发、引导下尝试探索,构建新知.

  [讲解]综合法证明不等式的逻辑关系:以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论,逐步寻找它成立的必要条件,直到必要条件就是要证明的不等式.

  [问题1]我们能不能用同样的思考问题的方式,把要证明的不等式作为结论,逐步去寻找它成立的充分条件呢?

  [问题2]当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时,说明了什么呢?

  [问题3]说明要证明的不等式成立的理由是什么呢?

  [点评]从要证明的结论入手,逆求使它成立的充分条件,直到充分条件显然成立为止,从而得出要证明的结论成立.就是分析法的逻辑关系.

  [投影]分析法证明不等式的概念.(见课本)

  设计意图:对比综合法的逻辑关系,教师层层设置问题,激发学生积极思考、研究.建立新的知识;分析法证明不等式.培养学习创新意识.

  【例题示范、学会应用】

  (教师活动)教师板书或投影例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会用分析法证明不等式,并点评用分析法证明不等式必须注意的问题.

  (学生活动)学生在教师引导下,研究问题,与教师一道完成问题的论证.

  例1 求证

  [分析]此题用比较法和综合法都很难入手,应考虑用分析法.

  证明:(见课本)

  [点评]证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.此例中,我们很难想到从“ ”入手,因此,在不等式的证明中,分析法占有重要的位置,我们常用分析法探索证明途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思维方法,事实上,有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上,分析法的优越性正体现在此.

  例2 已知: ,求证: (用分析法)请思考下列证法有没有错误?若有错误,错在何处?

  [投影]证法一:因为 ,所以 、去分母,化为 ,就是 .由已知 成立,所以求证的不等式成立.

  证法二:欲证

www.jiaoxue51.com,因为

            只需证 ,

            即证 ,

            即证

  因为 成立,所以 成立.

  (证法二正确,证法一错误.错误的原因是:虽然是从结论出发,但不是逐步逆战结论成立的充分条件,事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件,所以不符合分析法的逻辑原理,犯了逻辑上的错误.)

  [点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是:

  (结论)(步步寻找不等式成立的充分条件)(结论)

  分析法是“执果索因”,它与综合法的证明过程(由因导果)恰恰相反.②用分析法证明时要注意书写格式.分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是:

  要证命题B为真,

  只需证明 为真,从而有……

  这只需证明 为真,从而又有……

  ……

  这只需证明A为真.

  而已知A为真,故命题B必为真.

  要理解上述格式中蕴含的逻辑关系.

  [投影] 例3  证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面(指横截面,下同)的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

  [分析]设未知数,列方程,因为当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小,设截面的周长为 ,则周长为 的圆的半径为 ,截面积为 ;周长为 的正方形边长为 ,截面积为

www.jiaoxue51.com,所以本题只需证明:

  证明:(见课本)

  设计意图:理解分析法与综合法的内在联系,说明分析法在证明不等式中的重要地位.掌

握分析法证明不等式,特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系.灵活掌握分析法的应用,培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.

  【课堂练习】

  (教师活动)打出字幕(练习),请甲、乙两位同学板演,巡视学生的解题情况,对正确的证法给予肯定,对偏差及时纠正.点评练习中存在的问题.

  (学生活动)在笔记本上完成练习,甲、乙两位同学板演.

  【字幕】练习1.求证

  2.求证:

  设计意图:掌握用分析法证明不等式,反馈课堂效果,调节课堂教学.

  【分析归纳、小结解法】

  (教师活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小给用分析法证明不等式的解题方法.

  (学生活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记.

  1.分析法是证明不等式的一种常用基本方法.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的.

  2.用分析法证明不等式时,要正确运用不等式的性质逆找充分条件,注意分析法的证题格式.

  设计意图:培养学生分析归纳问题的能力,掌握分析法证明不等式的方法.

  (三)小结

  (教师活动)教师小结本节课所学的知识.

  (学生活动)与教师一道小结,并记录笔记.

  本节课主要学习了用分析法证明不等式.应用分析法证明不等式时,掌握一些常用技巧:

通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母,两边乘方、开方等.在使用这些技巧变形时,要注意遵循不等式的性质.另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.理解分析法和综合法是对立统一的两个方面.有时可以用分析法思索,而用综合法书写证明,或者分析法、综合法相结合,共同完成证明过程.

  设计意图:培养学生对所学知识进行概括归纳的能力,巩固所学知识.

  (四)布置作业

  1.课本作业:P17  4、5.

  2.思考题:若 ,求证

  3.研究性题:已知函数 , ,若 、 ,且 证明

   设计意图:思考题供学有余力同学练习,研究性题供学生研究分析法证明有关问题.

    (五)课后点评

  教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程.本节课在形成分析法证明不等式认知结构中,教师提出问题或引导学生发现问题,然后开拓学生思路,启迪学生智慧,求得问题解决.一个问题解决后,及时地提出新问题,提高学生的思维层次,逐步由特殊到一般,由具体到抽象,由表面到本质,把学生的思维步步引向深入,直到完成本节课的教学任务.总之,本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始,到问题深化,始终处于积极主动状态.

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  本节课练中有讲,讲中有练,讲练结合.在讲与练的互相作用下,使学生的思维逐步深化.教师提出的问题和例题,先由学生自己研究,然后教师分析与概括.在教师讲解中,又不断让学生练习,力求在练习中加深理解,尽量改变课堂上教师包括办代替的做法.

  在安排本节课教学内容时,按认识规律,由浅入深,由易及难,逐渐展开教学内容,让学生形成有序的知识结构.

  作业答案:

  思考题:

.因为 ,故 ,所以 成立.

  研究性题:令 , ,则:

, ,

故原不等式等价于

  由已知有 . 。所以上式等价于 ,即 。所以又等价于 .因为 ,上式成立,所以原不等式成立。                                           

不等式的实际解释

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  题目:不等式: 是正数,且 ,则 。可以给出一个具有实际背景的解释:在溶液里加溶质则浓度增加,即 个单位溶液中含有 个单位的溶质,其浓度小于加入 个单位溶质后的溶液浓度,请你仿照此例,给出两个不等式的解释。

  分析与解

  1.先看问题中的不等式,建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好。我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积,那么住宅的条件变好。

  设地板面积为 平方米,窗户面积为 平方米,若窗户面积和地板面积同时增加相等的 平方米,住宅的采光条件变好了,即有

  2. 是正数,不等式 可以推出 ,我们可以用混合溶液来解释:两个不同浓度的溶液混合后,其浓度介于混合前两溶液浓度之间。

  3.电阻串并联。电阻值为 、 的电阻,串联电阻为 ,并联电阻为 ,串联电阻变大,并联电阻变小,因此有不等式 ,即

  说明 许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后,通过数学的运算演变得到的。反过来,把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用,值得大家关注。


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