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不等式的解法举例

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教学目标


  (1)能熟练运用不等式的基本性质来解不等式;

  (2)在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上,掌握分式不等式、高次不等式的解法;

  (3)能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式(组)来解;

  (4)通过解不等式,要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想;

  (5)通过解各种类型的不等式,培养学生的观察、比较及概括能力,培养学生的勇于探索、敢于创新的精神,培养学生的学习兴趣.


教学建议

一、知识结构

  本节内容是在高一研究了一元一次不等式,一元二次不等式,简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上,进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则,将这些不等式等价转化为一次不等式(组)或二次不等式的求解,具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号,无理不等式有理化,分式不等式整式化,高次不等式一次化.其基本模式为:
  ;

   ;

   ;

    

二、重点、难点分析

  本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处,但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的,由于不等式的解集一般都是无限集,如果产生了增根却是无法检验加以排除的,所以解不等式的过程一定要保证同解,所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式 的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式,当 为一元一次式时,可直接解这个不等式组,但当 为一元二次式时,就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式,分别求解在求交集.

三、教学建议

  (1)在学习新课之前一定要复习旧知识,包括一元二次不等式的解法,简单的绝对值不等式的解法,简单的分式不等式的解法,不等式的性质,实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生,这一环节不可忽视.

  (2)在研究不等式 的解法之前,应先复习解不等式组的基本思路以及不等式 的解法,然后提出如何求不等式 的解集,启发学生运用换元思想将 替换成 ,从而转化一元二次不等式组的求解.

  (3)在教学中一定让学生充分讨论,明确不等式组“ ”中的两个不等式的解集间的交并关系,“

www.jiaoxue51.com” 两个不等式的解集间的交并关系.

  (4)建议表述解不等式的过程中运用符号“ ”.

  (5)建议在研究分式不等式的解法之前,先研究简单高次不等式(一端为0,另一端是若干个一次因式乘积形式的整式)的解法.可由学生讨论不同解法,师生共同比较诸法的优劣,最后落实到区间法.

  (6)分式不等式 与高次不等式 的等价原因, 可以认为是不等式 两端同乘以正数 ,不等号不改变方向所得;也可以认为是 与 符号相同所得.

  (7)分式不等式求解时不能盲目地去分母,但当分母恒为正数(如分母是 )时,应将其去掉,从而使不等式化简.

  (8)建议补充简单的无理不等式 的解法,其中 为一次式.教学中先由学生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教师概括总结,得出结论后一定要强调不等号的方向对 的影响,即 保证了 ,而 却不能保证这一点,所以要分 和 两种情况进行讨论.

  (9)求解不等式不仅要重视思路的理解,更要重视表述的规范,作为教师应给学生做出示范,学生通过模仿掌握书写格式,这样才有可能保证运算的合理性与结果的准确性.

教学设计示例

分式不等式的解法

教学目标

  1.掌握分式不等式向整式不等式的转化;
  2.进一步熟悉并掌握数轴标根法;
  3.掌握分式不等式基本解法.

教学重点难点

  重点是分式不等式解法
  难点是分式不等式向整式不等式的转化

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教学方法

  启发式和引导式

教具准备

  三角板、幻灯片

教学过程

1.复习回顾:

  前面,我们学习了含有绝对值的不等式的基本解法,还了解了数轴标根法的解题思路,本节课,我们将继续研究分式不等式的解法.

2.讲授新课:

例3  解不等式 <0.

  分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于x的二次三项式的商,根据商的符号法则,它可以化成两个不等式组:

  因此,原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集,此种解法从课本可以看到.

  另解:根据积的符号法则,可以将原不等式等价变形为(x2-3x+2)(x2-2x-3)<0

  即(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)<0

  令(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0

  可得零点x=-1或1,或2或3,将数轴分成五部分(如图).

  由数轴标根法可得所求不等式解集为:

  {x|-1<x<1或2<x<3}

  说明:(1)让学生注意数轴标根法适用条件;

  (2)让学生思考 ≤0的等价变形.

例4  解不等式 >1

  分析:首先转化成右端为0的分式不等式,然后再等价变形为整式不等式求解.

  解:原不等式等价变形为:

     -1>0

  通分整理得: >0

  等价变形为:(x2-2x+3)(x2-3x+2)>0

  即:(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0

  由数轴标根法可得所求不等式解集为:

    {x|x<-1或1<x<2或x>3}

  说明:此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解.

3.课堂练习:

  课本P19练习1.

  补充:(1) ≥0;

     (2)x(x-3)(x+1)(x-2)≤0.

课堂小结

  通过本节学习,要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上,掌握分式不等式的基本解法,即转化为整式不等式求解.

课后作业

  习题6.4  3,4.

板书设计


●教学后记

探究活动

  试一试用所学知识解下列不等式:

  (1) ;

  (2) ;

  (3) .

答案: (1)原式

  观察这个不等式组,由于要求

www.jiaoxue51.com,同时要求 ,所以①式可以不解.

  ∴ 原式

  

  如下图

  ∴

  (2)分析 当 时,不等式两边平方,当 时,在 有意义的前提下恒成立.

  原式 (Ⅰ)

  或(Ⅱ)

  由于同时满足(2)、(3)式,所以(1)式免解.

  ∴ (Ⅰ)式

  

  (Ⅱ)式 .

  综合(Ⅰ)、(Ⅱ),得 .

  (3)分析 当 时,不等式两边平方,当 时,原式解集为 .

  原式

  观察不等式组,设有可以免解的不等式.

  原式

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如下图

  ∴


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