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简单的线性规划(二)

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线性规划教学设计方案(二)

教学目标

  巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域,能用此来求目标函数的最值.

重点难点

  理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点.

  如何扰实际问题转化为线性规划问题,并给出解答是教学难点.

教学步骤

【新课引入】

  我们知道,二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域,在这里开始,教学又翻开了新的一页,在今后的学习中,我们可以逐步看到它的运用.

【线性规划】

  先讨论下面的问题

  设 ,式中变量x、y满足下列条件

           ①

  求z的最大值和最小值.

  我们先画出不等式组①表示的平面区域,如图中 内部且包括边界.点(0,0)不在这个三角形区域内,当 时, ,点(0,0)在直线 上.

  作一组和 平等的直线

  

  可知,当l在 的右上方时,直线l上的点 满足 .

即 ,而且l往右平移时,t随之增大,在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中,以经过点A(5,2)的直线l,所对应的t最大,以经过点 的直线 ,所对应的t最小,所以

  在上述问题中,不等式组①是一组对变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,所以又称线性约束条件.

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   是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫做目标函数,由于 又是x、y的解析式,所以又叫线性目标函数,上述问题就是求线性目标函数 在线性约束条件①下的最大值和最小值问题.

  线性约束条件除了用一次不等式表示外,有时也有一次方程表示.

  一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题,满足线性约束条件的解 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域,在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域,其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解.

【应用举例】

  例1  解下列线性规划问题:求 的最大值和最小值,使式中的x、y满足约束条件

  解:先作出可行域,见图中 表示的区域,且求得 .

  作出直线 ,再将直线 平移,当 的平行线 过B点时,可使 达到最小值,当 的平行线 过C点时,可使 达到最大值.

  

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  通过这个例子讲清楚线性规划的步骤,即:

  第一步:在平面直角坐标系中作出可行域;

  第二步:在可行域内找出最优解所对应的点;

  第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值.

  例2  解线性规划问题:求 的最大值,使式中的x、y满足约束条件.

 

  解:作出可行域,见图,五边形OABCD表示的平面区域.

  作出直线 将它平移至点B,显然,点B的坐标是可行域中的最优解,它使 达到最大值,解方程组 得点B的坐标为(9,2).

  ∴ 

  这个例题可在教师的指导下,由学生解出.在此例中,若目标函数设为 ,约束条件不变,则z的最大值在点C(3,6)处取得.事实上,可行域内最优解对应的点在何处,与目标函数 所确定的直线 的斜率 有关.就这个例子而言,当 的斜率为负数时,即 时,若 (直线 的斜率)时,线段BC上所有点都是使z取得最大值(如本例);当 时,点C处使z取得最大值(比如: 时),若

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随堂练习

1.求 的最小值,使式中的 满足约束条件

  

2.求 的最大值,使式中 满足约束条件

  

答案:1. 时, .

   2. 时, .

总结提炼

1.线性规划的概念.

2.线性规划的问题解法.

布置作业

1.求 的最大值,使式中的 满足条件

  

2.求 的最小值,使 满足下列条件

  

答案:1.

   2.在可行域内整点中,点(5,2)使z最小,

探究活动

利润的线性规划

  [问题]某企业1997年的利润为5万元,1998年的利润为7万元,1999年的利润为81元,请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程,从而预20xx年企业的利润,请问你帮该企业预测的利润是多少万?

  [分析]首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息:“1997年的利润为5万元,1998年的利润为7万元,1999年的利润为8万元”,在确定这三点坐标后,如何运用这三点坐标,是仅用其中的两点,还是三点信息的综合运用,运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等.

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  建立平面直角坐标系,设1997年的利润为5万元对应的点为 (0,5),1998年的利润为 7万元及1999年的利润为 8万元分别对应点 (1,7)和 (2,8),那么

  ①若将过 两点的直线作为预测直线 ,其方程为: ,这样预测20xx年的利润为13万元.

  ②若将过 两点的直线作为预测直线 ,其方程为: ,这样预测20xx年的利润为11万元.

  ③若将过 两点的直线作为预测直线 ,其方程为: ,这样预测20xx年的利润为10万元.

  ④若将过 及线段 的中点 的直线作为预测直线 ,其方程为: ,这样预测20xx年的利润为11.667万元.

  ⑤若将过 及

www.jiaoxue51.com的重心 (注: 为3年的年平均利润)的直线作为预测直线 ,其方程为: ,这样预测20xx年的利润为11.667万元.

  ⑥若将过 及 的重心 的直线作为预测直线 ,其方程为: ,这样预测20xx年的利润为10.667万元.

  ⑦若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线,则预测直线 的方程为: ,这样预测20xx年的利润为9万元.

  ⑧若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线,则预测直线 的方程为: ,这样预测20xx年的利润为11.5万元.

  ⑨若将过点

www.jiaoxue51.com且以线段 的斜率 为斜率的直线,作为预测直线,则预测直线 的方程为; ,这样预测20xx年的利润为12万元.

  ⑩若将过 且以线段 的斜率 与线段 的斜率 的平均数为斜率的直线作为预测直线,则预测直线 的方程为: ,这样预测20xx年的利润为12万元.

  如此这样,还有其他方案,在此不—一列举.

  [思考](1)第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致,这是为什么?

  (2)第⑦种方案中, 的现实意义是什么?

  (3)根据以上的基本解题思路,请你思考新的方案.如方案⑥中,过 的重心 ,找出以 为斜率的直线中与 两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线.

  (4)根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围,你预测的利润频率出现最多的是哪一个值?你认为将你预测的结论作怎样的处理,使之得到的利润预测更为有效?如果不要求用线性预测,你能得出什么结果?


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