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不等式的性质1

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教学目标


  1.理解不等式的性质,掌握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系,并掌握它们的证明方法以及功能、运用;
  2.掌握两个实数比较大小的一般方法;
  3.通过不等式性质证明的学习,提高学生逻辑推论的能力;
  4.提高本节内容的学习,;培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度;


教学建议

1.教材分析

(1)知识结构

  本节首先通过数形结合,给出了比较实数大小的方法,在这个基础上,给出了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了严格的证明。

(2)重点、难点分析

  在“不等式的性质”一节中,联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法,复习了初中学过的不等式的基本性质。

  不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用,不等式的证明和解一些简单的不等式,无不以不等式的性质作为基础。

  本节的重点是比较两个实数的大小,不等式的五个定理和三个推论;难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。

①比较实数的大小

  教材运用数形结合的观点,从实数与数轴上的点一一对应出发, 与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。

  指出比较两实数大小的方法是求差比较法:

  比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.

  比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的差的符号.

②理清不等式的几个性质的关系

  教材中的不等式共5个定理3个推论,是从证明过程安排顺序的.从这几个性质的分类来说,可以分为三类:

  (Ⅰ)不等式的理论性质: (对称性)

                        (传递性)

  (Ⅱ)一个不等式的性质:

                       

(n∈N,n>1)

 (n∈N,n>1)

(Ⅲ)两个不等式的性质:

                       

2.教法建议

  本节课的核心是培养学生的变形技能,训练学生的推理能力.为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.

  授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问(即:设疑);对教学难点,再由讲授形式解决疑问.(即:解疑).主要思路是:教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑.

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  教学过程可分为:发现定理、定理证明、定理应用,采用由形象思维到抽象思维的过渡,发现定理、证明定理.采用类比联想,变形转化,应用定理或应用定理的证明思路;解决一些较简单的证明题.

第一课时

教学目标

  1.掌握实数的运算性质与大小顺序间关系;
  2.掌握求差法比较两实数或代数式大小;
  3.强调数形结合思想.

教学重点

  比较两实数大小

教学难点 

  理解实数运算的符号法则

教学方法

  启发式

教学过程

一、复习回顾

  我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在右图中,点A表示实数 ,点B表示实数 ,点A在点B右边,那么 .

  我们再看右图, 表示 减去 所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:

  若 ,则 是正数;逆命题也正确.

  类似地,若,则 是负数;若 ,则 .它们的逆命题都正确.

  这就是说:(打出幻灯片1)

  由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.

二、讲授新课

1.  比较两实数大小的方法——求差比较法

  比较两个实数

www.jiaoxue51.com与 的大小,归结为判断它们的差 的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.

  比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的差的符号.

接下来,我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.

2.  例题讲解

例1  比较 与 的大小.

  分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.

  解:

    

  ∴

例2  已知,比较( 与 的大小.

  分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有一定的限制,应该在对差值正负判断时引起注意,对于限制条件的应用经常被学生所忽略.

  

  由 得 ,从而

  

  请同学们想一想,在例2中,如果没有 这个条件,那么比较的结果如何?

  (学生回答:若没有 这一条件,则 ,从而

www.jiaoxue51.com大于或等于 )

  为了使大家进一步掌握求差比较法,我们来进行下面的练习.

三、课堂练习

  1.比较 的大小.
  2.如果 ,比较 的大小.
  3.已知,比较 与 的大小.

  要求:学生板演练习,老师讲评,并强调学生注意加限制条件的题目.

课堂小结

  通过本节学习,大家要明确实数运算的符号法则, 掌握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.

课后作业

  习题6.1  1,2,3.

板书设计

§6.1.1  不等式的性质

1.求差比较法   例1   学生

…… 

        例2    板演

…… 


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