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不等式的性质(三)

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探究活动

能得到什么结论

题目 已知 且 ,你能够推出什么结论?

  分析与解:由条件推出结论,我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大,对已知变量作运算,运用不等式的性质,或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。

思路一:改变 的范围,可得:

  1. 且 ;

  2. 且 ;

思路二:由已知变量作运算,可得:

  3. 且 ;

  4. 且 ;

  5. 且 ;

  6. 且 ;

  7. 且 ;

思路三:考虑含有 的数学表达式具有的性质,可得:

  8.

www.jiaoxue51.com(其中 为实常数)是三次方程;

  9. (其中 为常数)的图象不可能表示直线。

  说明 从已知信息能够推出什么结论?这是我们经常需要思考的问题,这里给出的都是必要非充分条件,读者可以考虑是否能够写出充要条件;另外,运用推出关系的传递性,在推出结论的基础上进一步进行推理,还可得出很多结果,请读者考虑.

探究关系式是否成立的问题

题目  当 成立时,关系式 是否成立?若成立,加以证明;若不成立,说明理由。

  解:因为 ,所以 ,所以 ,

  所以 ,

  所以 或

  所以 或

  所以 或

  所以 不可能成立。

  说明:像本例这样的探索题,题目的结论是“两可”(即两种可能性)情形,而我们知道,说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析,不仅说明结论不成立,而且得出 ,

www.jiaoxue51.com必须同时大于1或同时小于1的结论。

探讨增加什么条件使命题成立

例 适当增加条件,使下列命题各命题成立:

  (1)若 ,则 ;

  (2)若 ,则 ;

  (3)若 , ,则 ;

  (4)若 ,则

思路分析:本例为条件型开放题,需要依据不等式的性质,寻找使结论成立时所缺少的一个条件。

解:(1)

(2) 。当 时,

  当 时,

(3)

   

(4)

  

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引申发散 对命题(3),能否增加条件 ,或 , ,使其成立?请阐述你的理由。


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