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充分条件与必要条件

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教学目标

  (1)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;
  (2)能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件;
  (3)培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力;
  (4)在充要条件的教学中,培养等价转化思想.

教学建议

(一)教材分析

1.知识结构

  首先给出推断符号“ ”,并引出充分条件与必要条件的意义,在此基础上讲述了充要条件的初步知识.

2.重点难点分析

  本节的重点与难点是关于充要条件的判断.

  (1)充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件 和结论 之间的因果关系.

  (2)在判断条件 和结论 之间的因果关系中应该:

  ①首先分清条件是什么,结论是什么;

  ②然后尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件.推理方法可以是直接证法、间接证法(即反证法),也可以举反例说明其不成立;

  ③最后再指出条件是结论的什么条件.

  (3)在讨论条件 和条件 的关系时,要注意:

  ①若 ,但 ,则 是 的充分但不必要条件;

  ②若 ,但 ,则 是 的必要但不充分条件;

  ③若 ,且

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  ④若 ,且 ,则 是 的充要条件;

  ⑤若 ,且 ,则 是 的既不充分也不必要条件.

  (4)若条件 以集合 的形式出现,结论 以集合 的形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判断.

  ①若 ,则 是 的充分条件;

  显然,要使元素 ,只需 就够了.类似地还有:

  ②若

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  ③若 ,则 是 的充要条件;

  ④若 ,且 ,则 是 的既不必要也不充分条件.

  (5)要证明命题的条件是充要条件,就既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命题即证明条件的充分性,证明逆命题即证明条件的必要性.由于原命题 逆否命题,逆命题 否命题,当我们证明某一命题有困难时,可以证明该命题的逆否命题成立,从而得出原命题成立.

(二)教法建议

  1.学习充分条件、必要条件和充要条件知识,要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系.充要条件中的 , 与四种命题中的 , 要求是一样的.它们可以是简单命题,也可以是不能判断真假的语句,也可以是含有逻辑联结词或“若 则 ”形式的复合命题.

  2.由于这节课概念性、理论性较强,一般的教学使学生感到枯燥乏味,为此,激发学生的学习兴趣是关键.教学中始终要注意以学生为主,让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”,去体会概念的本质属性.

  3.由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关,为此,教学时可以从判断命题的真假入手,来分析命题的条件对于结论来说,是否充分,从而引入“充分条件”的概念,进而引入“必要条件”的概念.

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  4.教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明,为了让学生能理解定义的合理性,在教学过程中,教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念,从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念.

教学设计示例

充要条件

教学目标:

  (1)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;

  (2)能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件;

  (3)培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力;

  (4)在充要条件的教学中,培养等价转化思想.

教学重点难点:关于充要条件的判断

教学用具:幻灯机或实物投影仪

教学过程设计

1.复习引入

  练习:判断下列命题是真命题还是假命题(用幻灯投影):

  (1)若 ,则 ;

  (2)若 ,则 ;

  (3)全等三角形的面积相等;

  (4)对角线互相垂直的四边形是菱形;

  (5)若 ,则 ;

  (6)若方程 有两个不等的实数解,则 .

(学生口答,教师板书.)

  (1)、(3)、(6)是真命题,(2)、(4)、(5)是假命题.

  置疑:对于命题“若 ,则 ”,有时是真命题,有时是假命题.如何判断其真假的?

  答:看 能不能推出 ,如果 能推出 ,则原命题是真命题,否则就是假命题.

  对于命题“若 ,则 ”,如果由

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  2.讲授新课

  (板书充分条件的定义.)

  一般地,如果已知 ,那么我们就说 是 成立的充分条件.

  提问:请用充分条件来叙述上述(1)、(3)、(6)的条件与结论之间的关系.

(学生口答)

  (1)“ ,”是“ ”成立的充分条件;

  (2)“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件;

  (3)“方程 的有两个不等的实数解”是“ ”成立的充分条件.

  从另一个角度看,如果 成立,那么其逆否命题 也成立,即如果没有 ,也就没有

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(板书必要条件的定义.)

  提出问题:用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题.

(学生口答).

  (1)因为 ,所以 是 的充分条件, 是 的必要条件;

  (2)因为 ,所以 是 的必要条件, 是 的充分条件;

  (3)因为“两三角形全等” “两三角形面积相等”,所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件,“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件;

  (4)因为“四边形的对角线互相垂直” “四边形是菱形”,所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件,“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件;

  (5)因为 ,所以 是 的必要条件, 是

www.jiaoxue51.com的充分条件;

  (6)因为“方程 的有两个不等的实根” “ ”,而且“方程 的有两个不等的实根” “ ”,所以“方程 的有两个不等的实根”是“ ”充分条件,而且是必要条件.

  总结:如果 是 的充分条件, 又是 的必要条件,则称 是 的充分必要条件,简称充要条件,记作 .

(板书充要条件的定义.)

3.巩固新课

  例1  (用投影仪投影.)

B

A是B的什么条件

B是 的什么条件

是有理数

www.jiaoxue51.com是实数

   

   

、 是奇数

是偶数

   

   

   

   

   

是4的倍数

是6的倍数

   

(学生活动,教师引导学生作出下面回答.)

  ①因为有理数一定是实数,但实数不一定是有理数,所以 是 的充分非必要条件,

www.jiaoxue51.com是 的必要非充分条件;

  ② 一定能推出 ,而 不一定推出 ,所以 是 的充分非必要条件, 是 的必要非充分条件;

  ③ 、 是奇数,那么 一定是偶数; 是偶数, 、 不一定都是奇数(可能都为偶数),所以 是 的充分非必要条件, 是 的必要非充分条件;

  ④ 表示

www.jiaoxue51.com或 ,所以 是 成立的必要非充分条件;

  ⑤由交集的定义可知 且 是 成立的充要条件;

  ⑥由 知 且 ,所以 是 成立的充分非必要条件;

  ⑦由 知 或 ,所以 是 , 成立的必要非充分条件;

  ⑧易知“ 是4的倍数”是“ 是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件;

  (通过对上述问题的交流、思辩,在争论中得到了正确答案,并加深了对充分条件、必要条件的认识.)

  例2  已知

www.jiaoxue51.com是 的充要条件, 是 的必要条件同时又是 的充分条件,试 与 的关系.(投影)

  解:由已知得

  所以 是 的充分条件,或 是 的必要条件.

  4.小结回授

  今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念,并学会了判断条件A是B的什么条件,这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础.

  课内练习:课本(人教版,试验修订本,第一册(上))第 35页练习l、2;第36页练习l、2.

  (通过练习,检查学生掌握情况,有针对性的进行讲评.)

  5.课外作业:教材第36页      习题1.8    1、2、3.


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