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等比数列

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教学目标
  1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决简单的问题.
  (1)正确理解等比数列的定义,了解公比的概念,明确一个数列是等比数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等比数列,了解等比中项的概念;
  (2)正确认识使用等比数列的表示法,能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;
  (3)通过通项公式认识等比数列的性质,能解决某些实际问题.
  2.通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.
  3.通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的科学态度.


教学建议
教材分析
  (1)知识结构
  等比数列是另一个简单常见的数列,研究内容可与等差数列类比,首先归纳出等比数列的定义,导出通项公式,进而研究图像,又给出等比中项的概念,最后是通项公式的应用.
  (2)重点、难点分析
  教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用,教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.
  ①与等差数列一样,等比数列也是特殊的数列,二者有许多相同的性质,但也有明显的区别,可根据定义与通项公式得出等比数列的特性,这些是教学的重点.
  ②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法,但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中,需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明,所以通项公式的推导是难点.
  ③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式,因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.
教学建议
  (1)建议本节课分两课时,一节课为等比数列的概念,一节课为等比数列通项公式的应用.
  (2)等比数列概念的引入,可给出几个具体的例子,由学生概括这些数列的相同特征,从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出,由学生将这些数列进行分类,有一种是按等差、等比来分的,由此对比地概括等比数列的定义.
  (3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0,以及每一项均不为0的特性,加深对概念的理解.
  (4)对比等差数列的表示法,由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式,由通项公式的结构特征画数列的图象.
  (5)由于有了等差数列的研究经验,等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决,教师只需把握课堂的节奏,作为一节课的组织者出现.
  (6)可让学生相互出题,解题,讲题,充分发挥学生的主体作用.

教学设计示例

课题:等比数列的概念

教学目标

  1.通过教学使学生理解等比数列的概念,推导并掌握通项公式.

  2.使学生进一步体会类比、归纳的思想,培养学生的观察、概括能力.

  3.培养学生勤于思考,实事求是的精神,及严谨的科学态度.

教学重点,难点

  重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.

教学用具

  投影仪,多媒体软件,电脑.

教学方法

  讨论、谈话法.

教学过程

一、提出问题

给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.(幻灯片)

  ①-2,1,4,7,10,13,16,19,…

  ②8,16,32,64,128,256,…

  ③1,1,1,1,1,1,1,…

  ④243,81,27,9,3,1, , ,…

  ⑤31,29,27,25,23,21,19,…

  ⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…

  ⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…

  ⑧0,0,0,0,0,0,0,…

  由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列,也可能分为等差、等比两类),统一一种分法,其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨,得出定义后再考察③是否为等比数列).

二、讲解新课

  请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例子,如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫,再假设开始有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过两个单位时间就有了四个变形虫,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这是我们将要研究的另一类数列——等比数列. (这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)

等比数列(板书)

  1.等比数列的定义(板书)

  根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系,尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美,多数情况下,有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义,标注出重点词语.

  请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比,并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列,教师再追问,还有没有其他的例子,让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式,学生可能说形如

www.jiaoxue51.com的数列都满足既是等差又是等比数列,让学生讨论后得出结论:当 时,数列 既是等差又是等比数列,当 时,它只是等差数列,而不是等比数列.教师追问理由,引出对等比数列的认识:

  2.对定义的认识(板书)

  (1)等比数列的首项不为0;

  (2)等比数列的每一项都不为0,即 ;

问题:一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件?

  (3)公比不为0.

  用数学式子表示等比数列的定义.

   是等比数列 ①.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成 ,可让学生研究行不行,好不好;接下来再问,能否改写为 是等比数列 ?为什么不能?

  式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系,但能否确定一个等比数列?(不能)确定一个等比数列需要几个条件?当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?所以要研究通项公式.

  3.等比数列的通项公式(板书)

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  问题:用 和 表示第 项 .

  ①不完全归纳法

   .

  ②叠乘法

   ,… , ,这 个式子相乘得 ,所以 .

(板书)(1)等比数列的通项公式

  得出通项公式后,让学生思考如何认识通项公式.

(板书)(2)对公式的认识

  由学生来说,最后归结:

  ①函数观点;

  ②方程思想(因在等差数列中已有认识,此处再复习巩固而已).

  这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量,知三求一,这是公式最简单的应用,请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?(不仅要会解题,还要注意规范表述的训练)

  如果增加一个条件,就多知道了一个量,这是公式的更高层次的应用,下节课再研究.同学可以试着编几道题.

三、小结

  1.本节课研究了等比数列的概念,得到了通项公式;

  2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比;

  3.用方程的思想认识通项公式,并加以应用.

四、作业(略)

五、板书设计

三.等比数列                                                   

1.等比数列的定义

2.对定义的认识

3.等比数列的通项公式

(1)公式

(2)对公式的认识

探究活动

  将一张很大的薄纸对折,对折30次后(如果可能的话)有多厚?不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米.

参考答案:

  30次后,厚度为

www.jiaoxue51.com,这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度.如果纸再薄一些,比如纸厚0.001毫米,对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗?第31个格子中的米已经是1073741824粒了,后边的格子中的米就更多了,最后一个格子中的米应是 粒,用计算器算一下吧(用对数算也行).


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