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集合

03-06 17:34:58 | www.jiaoxue51.com | 高一数学教案 | 人气:469

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一、知识结构

  本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明.然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子.

二、重点难点分析

  这一节的重点是集合的基本概念和表示方法,难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合.这一节的特点是概念多、符号多,正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键.为此,在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目,以帮助学生提高判断能力,加深理解集合的概念和表示方法.

1.关于牵头图和引言分析

  章头图是一组跳伞队员编成的图案,引言给出了一个实际问题,其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题,必须用到集合和逻辑的知识,也就是把它数学化.一方面提高用数学的意识,一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础.

2.关于集合的概念分析

  点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念,集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.

  初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”;初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等.在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例,对概念有一个初步认识.教科书给出的“一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.”这句话,只是对集合概念的描述性说明.

  我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念,从而阐明集合概念如同其他数学概念一样,不是人们凭空想象出来的,而是来自现实世界.

3.关于自然数集的分析

  教科书中给出的常用数集的记法,是新的国家标准,与原教科书不尽相同,应该注意.

  新的国家标准定义自然数集N含元素0,这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准,以便早日与之接轨,另一方面,0还是十进位数{0,1,2,…,9}中最小的数,有了0,减法运算 仍属于自然数,其中 .因此要注意几下几点:

    (1)自然数集合与非负整数集合是相同的集合,也就是说自然数集包含0;

    (2)自然数集内排除0的集,表示成 或 ,其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集,也可类似表示 , , ;

    (3)原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如 , , …不再适用.

    4.关于集合中的元素的三个特性分析

  集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”这一集合的元素是:北京、上海、天津、重庆。

  集合中的元素常用小写的拉丁字母 ,…表示.如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作

www.jiaoxue51.com;否则,就说a不属于A,记作

    要正确认识集合中元素的特性:

    (l)确定性: 和 ,二者必居其一.

    集合中的元素必须是确定的.这就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如,给出集合{地球上的四大洋},它的元素是:太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其他对象都不用于这个集合.如果说“由接近 的数组成的集合”,这里“接近 的数”是没有严格标准、比较模糊的概念,它不能构成集合.

    (2)互异性:若 , ,则

  集合中的元素是互异的.这就是说,集合中的元素是不能重复的,集合中相同的元素只能算是一个.例如方程 有两个重根 ,其解集只能记为{1},而不能记为{1,1}.

    (3)无序性:{a,b}和{b,a}表示同一个集合.

    集合中的元素是不分顺序的.集合和点的坐标是不同的概念,在平面直角坐标系中,点(l,0)和点(0,l)表示不同的两个点,而集合{1,0}和{0,1}表示同一个集合.

    5.要辩证理解集合和元素这两个概念

    (1)集合和元素是两个不同的概念,符号和是表示元素和集合之间关系的,不能用来表示集合之间的关系.例如 的写法就是错误的,而 的写法就是正确的.

    (2)一些对象一旦组成了集合,那么这个集合的元素就是这些对象的全体,而非个别现象.例如对于集合 ,就是指所有不小于0的实数,而不是指“ 可以在不小于0的实数范围内取值”,不是指“ 是不小于0的一个实数或某些实数,”也不是指“

www.jiaoxue51.com是不小于0的任一实数值”……

    (3)集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符合条件.

    6.表示集合的方法所依据的国家标准

  本小节列举法与描述法所使用的集合的记法,依据的是新国家标准如下的规定.

符号

应用

意义或读法

备注及示例

诸元素 构成的集

也可用 ,这里的I表示指标集

使命题 为真的A中诸元素之集

例: ,如果从前后关系来看,集A已很明确,则可使用 来表示,例如

此外, 有时也可写成 或

7.集合的表示方法分析

  集合有三种表示方法:列举法、描述法、图示法.它们各有优点.用什么方法来表示集合,要具体问题具体分析.

  (l)有的集合可以分别用三种方法表示.例如“小于 的自然数组成的集合”就可以表为:

   ①列举法: ;

   ②描述法: ;

   ③图示法:如图1。

   (2)有的集合不宜用列举法表示.例如“由小于 的正实数组成的集合”就不宜用列举法表示,因为不能将这个集合中的元素—一列举出来,但这个集合可以这样表示:

www.jiaoxue51.com   ①描述法: ;

   ②图示法:如图2.

   (3)用描述法表示集合,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应该符合什么条件,从而准确理解集合的意义.例如:

   ①集合 中的元素是 ,它表示函数 中自变量 的取值范围,即 ;

   ②集合 中的元素是 ,它表示函数值。的取值范围,即 ;

   ③集合 中的元素是点 ,它表示方程 的解组成的集合,或者理解为表示曲线 上的点组成的集合;

   ④集合 中的元素只有一个,就是方程 ,它是用列举法表示的单元素集合.

  实际上,这是四个完全不同的集合.

  列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素—一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定.

    8.集合的分类

  含有有限个元素的集合叫做有限集,如图1所示.

  含有无限个元素的集合叫做无限集,如图2所示.

9.关于空集分析

   不含任何元素的集合叫做空集,记作 .空集是个特殊的集合,除了它本身的实际意义外,在研究集合、集合的运算时,必须予以单独考虑.

    


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