两条直线的位置关系

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教学目标

　　（1）熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
　　（2）理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角．
　　（3）能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标．
　　（4）掌握点到直线距离公式的推导和应用．
　　（5）进一步掌握求直线方程的方法．
　　（6）进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法．
　　（7）通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法．

教学建议

一、教材分析

1．知识结构

2．重点、难点分析

　　重点是两条直线的平行与垂直的判断；两条直线的夹角；点到直线的距离．

　　难点是两条直线垂直条件的推导；一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导．

　　本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要．

（1）平行与垂直

　　①平行

　　在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判定定理和性质定理）转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况．

　　②垂直

　　教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件．结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：

　　 或 一个为0，另一个不存在．

（2）夹角

　　①应正确区分直线 到 的角、直线 到 的角、直线 和 的夹角这三个概念．

　　 到 的角是带方向的角，它是指 按逆时针方向旋转到与 重合时所转的角，它与 到

www.jiaoxue51.com的角是不同的，如果设前者是 ，后者是 ，则 ＋ ＝ ． 与 所夹的不大于 的角成为 和 的夹角，夹角不带方向．

　　当 到 的角为锐角 时，则 和 的夹角也是 ；当 到 的角为钝角 时，则 和

www.jiaoxue51.com的夹角也是 ．

　　②在求直线 到 的角 时，应注意分析图形的几何性质，找出 与 ， 的倾斜角 ， 关系，得出 或 ，然后由 ， 联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出

．

　　再由 与 的夹角与 到 的角之间的关系，而得出夹角计算公式

                 

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　　这种把“形”转化为“数”的方法，是解析几何的基本方法，要认真揣摩．

　　③对于以上两个求角公式，在解决实际问题时，要注意根据具体情况选用．

（3）交点

　　①求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题，这可以由直线的方程与方程的直线的定义来理解．

　　②在同一平面内，两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合，相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解有三种情况：有惟一解、无解、无数多个解．但在实际判定时，利用直线的斜率和截距更方便．若 ， ，则：

           与 相交 ；

           且 ；

           与 重合 且 ．

（4）点到直线的距离

　　①点到直线的距离公式是研究点与直线位置关系的重要工具．教科书借助于直角三角形的面积公式，推导出点到直线的距离公式．在推导过程中，把与两条坐标轴都不平行的线段的长度的计算，转化为与坐标轴平等或垂直的线段长度的计算，从而简化了运算过程．

　　②利用点到直线的距离公式可推出两平行线 ， 间的距离公式： ．

　　③点到直线距离公式的推导，有多种方法，应鼓励同学们思考，下面介绍一种较简便的方法．

　　如右图，设 ，过点

www.jiaoxue51.com作直线 的垂线，垂足为 ，则有

             

即

　　 得

　　

　　 ，

即         ，

                    ．

　　当 时，上述公式也成立．

（5）当直线中有一条没有斜率时，讨论平行、垂直、角、距离的问题，不必套用以上结论，这时可结合图形几何性质；直接求解．

二、教法建议

　　1．本节知识与初中所学的平面几何知识和三角知识联系非常紧密，教学时应加强启发和引导．如学生对两条直线的平行同位角相等的条件已经非常熟悉，因此在研究两直线平行时，应引导学生迅速建立联系：同位角—倾斜角—斜率（直线方程）．又如，在求 到 的角 时，根据图形中角的关系，建立 与倾斜角 和 的联系（有且只有 或

www.jiaoxue51.com两种情况），进而借助三角建立与斜率的关系，得出公式．

　　2．本节内容中在研究两直线的垂直条件时，由于采用向量这一更高级的工具来处理，显得既简单又深刻．所以教学中应注意向量工具的运用，可让学生尝试用向量推导两直线平行的条件和点到直线距离公式的推导．

　　3．本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上．本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力．本节还要加强根据已知条件求直线方程的教学．

　　4．不仅要使学生熟悉用斜率求两直线夹角的公式，也要掌握根据直线方程系数求夹角的方法（即教材中例6的方法），同时会根据所给条件选用．

　　5．已知两直线的方程会求其交点即可，不必研究两直线方程系数与位置关系之间的关系．

　　6．在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力．

　　7．本节学完以后学生可以解决很多较复杂、较综合的问题，如对称问题、直线系过定点问题、光路最短与足球射门角度最大等最值问题．教学中应适当安排一些这样的内容，以训练学生思维和培养学生分析问题、解决问题的能力．　　

教学设计方案

课题：点到直线的距离

教学目标：（1）理解点到直线距离公式的推导过程.

　　　　　（2）会求点到直线的距离.

　　　　　（3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神.

教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

一、引入

　　点到直线的距离是指过点 作 的垂线， 与垂足 之间的长度

【问题1】已知点 （-1，2）和直线 ： ，求 点到直线 的距离．

（由学生分析、解答）

　　分析：先求出过 点和 垂直的直线：

　　 ： ，再求出

www.jiaoxue51.com和 的交点

　　∴

　　如果把问题1一般化就有如下问题：

【问题2】已知： 和直线 ： （ 不在直线 上，且 ， ），试求 点到直线 的距离．

二、点到直线距离

　　分析1：要求 的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求 的长度．

　　∵ 点坐标已知，∴只要求出 点坐标就可以了．

　　又∵ 点是直线 和直线

www.jiaoxue51.com的交点

　　又∵直线 的方程已知

　　∴只要求出直线 的方程就可以了.

　　即： ← 点坐标←直线 与直线 的交点←直线 的方程←直线 的斜率←直线 的斜率

　　（这一解法在课前由学生自学完成，课上进行评价总结）

　　问：这种解法好不好，为什么?

　　根据学生讨论，教师适时启发、引导，得出

　　 分析2：如果 垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段 和 ，如图1所示，显然相对而言 ，和 好求一些，事实上，设 到直线的距离为 ， 坐标为

www.jiaoxue51.com， 坐标为 ，则易求：

，

　　所以： ，

　　所以：

　　根据三角形面积公式：

　　所以： （至此问题2已经解决）

　　公式 的完善.

容易验证（由学生完成）：

　　当 ，即 轴时，公式成立；

　　当 ，即 轴时，公式成立；

　　当 点在 上时，公式成立．

　　公式 结构特点

师生一起总结：

　　（1）分子是 点坐标代入直线方程；

　　（2）分母是直线未知数 、

www.jiaoxue51.com系数平方和的算术根．

　　类似于勾股定理求斜边的长

三、检测与巩固

　　练习1

　　（1） 到直线 的距离是________．

　　（2） 到直线 的距离是_______．

　　（3）用公式解 到直线 的距离是______．

　　（4） 到直线 的距离是_________．

订正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） ．

　　练习2

　　1．求平行直线 和 的距离．

　　解：在直线 上任取一点，如 ，则两平行线的距离就是点 到直线 的距离．

　　因此， ＝

www.jiaoxue51.com＝

【问题3】

　　两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线 与 0的距离．

　　 解：在直线上 任取一点，如

则两平行线的距离就是点 到直线 的距离，（如图2）．

　　因此， ＝ ＝

　　注意：用公式时，注意一次项系数是否一致．

四、小结作业

　　1、点到直线的距离公式及其推导；

　　师生一起总结点到直线距离公式的推导过程：

　　2、利用公式求点到直线的距离．

　　3、探索两平行直线的距离

　　4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离．

作业：P54  13、14、16思考研究：运用多种方法推导点到直线的距离公式．

探究活动

研究性学习

　　点到直线距离公式是本节的重点和难点之一，公式的推导历来是探索的重点．教材上的第二种方法较传统已有不少改进，但运用向量的理论研究两条直线的位置关系的新思想在这一问题上没有体现，而运用向量理论推导点到直线的距离公式又是可行的，因此尝试用向量推导距离公式是很有意义的．为此设计如下研究性题目：

　　试用向量的理论推导（或证明）点到直线的距离公式．

　　简要思路：

　　首先规定直线的法向量．设直线 的方程为 ，

www.jiaoxue51.com是 上任意一点，则 的方程可表示为 的形式．由向量内积的概念可知向量 是与直线的方向向量 垂直的向量，我们把 称为直线 的法向量．

　　其次推导点到直线的距离公式．设 是直线 ： 外的一点， 是 上的任一点， 垂直 于 ．则所求为 ．如图５，不妨l的法向量到 的角为 ，则不论 为锐角还是钝角，总有

www.jiaoxue51.com，因为：

　　

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